Czy w matematyce można eksperymentować? Ta książka przekona Cię, że jak najbardziej! Przedstawione w niej proste ćwiczenia-eksperymenty, do których samodzielnego wykonania najczęściej wystarcza kartka, ołówek, linijka i nożyczki, skłaniają do stawiania pytań, rozbudzają wyobraźnię, podsuwają wskazówki objaśniające dane prawo lub zagadnienie matematyczne. Dzięki nim dowiesz się nie tylko tego, jak przejść przez pocztówkę, ale także wielu innych niezwykłych rzeczy: jak zobaczyć nieskończoność w lustrze, jak zrobić model piłki nożnej, jak dotrzeć po arkuszu papieru aż na Księżyc, jak odgadnąć pomyślaną przez kogoś liczbę, a nawet, jak zakodować tekst z użyciem starożytnej metody szyfrowania. Jeśli matematyka kiedykolwiek wydawała Ci się zbyt trudna i oderwana od życia, to po lekturze tej książki zmienisz zdanie.

Fragmenty

Słowo Wstępne

Eksperymenty matematyczne! Czy takie w ogóle istnieją? Nie wchodząc w rozważania filozoficzne, dajemy najprostszą odpowiedź – tak, istnieją. Do książki wybraliśmy nasze ulubione eksperymenty matematyczne. Ale przy jej lekturze nie jest konieczne przestrzeganie proponowanej przez nas kolejności zapoznawania się z nimi. Można rozpocząć od tych eksperymentów, które robią na Was największe wrażenie. W to zaś, że rzeczywiście będziemy mieć do czynienia z eksperymentami, nie powinniśmy wątpić dlatego, że będziemy zmuszeni przy nich coś zrobić, coś wykonywać. Nie ma się jednak czego obawiać! Do ich przeprowadzenia nie będą potrzebne jakieś specjalne materiały (z reguły wystarczy kartka papieru) ani też wyszukane narzędzia (czasami będą potrzebne tylko nożyczki). Również nie będzie wymagana szczególna sprawność rąk i palców (z reguły wystarczy tylko umiejętność zagięcia kartki papieru). Za nasze motto przyjęliśmy bowiem zasadę: im prościej, tym lepiej. Dzięki temu przedstawione w książce eksperymenty adresowane są przede wszystkim do dzieci, a większość z nich nawet już do przedszkolaków, którzy uczestnicząc w nich – pod kierunkiem opiekunów – będą mogli przeżyć swoje pierwsze spotkanie z matematyką.

Chodzi bowiem o eksperymenty matematyczne! Mamy nadzieję, że – tak jak przy innych ciekawych eksperymentach – także uczestników naszych eksperymentów matematycznych ogarnie zdumienie, zadziwienie, niekiedy nawet fascynacja. Musimy jednak pamiętać, że eksperymenty matematyczne mają na celu coś szczególnego. Zmuszają do stawiania pytań – dlaczego tak się dzieje? Pobudzają wyobraźnię – w jaki sposób otrzymać z elementu dwuwymiarowego trójwymiarowy?. Odkrywają wskazówki pozwalające na myślowe wyjaśnienie rozważanego zagadnienia. Często się bowiem zdarza, że w trakcie takiego eksperymentu doznajemy „olśnienia” i znajdujemy „rozwiązanie” lub zaczynamy rozumieć, na czym w danym zagadnieniu polega istota rzeczy. Aby dokładniej określić różnicę między eksperymentem fizycznym i matematycznym, można powiedzieć, że przy pomocy eksperymentu fizycznego potwierdza się jakieś prawo przyrody, natomiast matematycznego – zachęca się, a nawet zmusza do myślenia. Eksperymenty matematyczne mają też jedną szczególną cechę: zawsze prowadzą do takiego samego wyniku! W niniejszej książce podana jest bogata oferta tematów; można nie tylko przechodzić przez kartę pocztową, ale również budować model piłki nożnej i inne przestrzenne figury geometryczne. Można poznać metody szyfrowania oraz odkryć wielkość liczby pi, przyglądając się kuflowi piwa. We wszystkich zaprezentowanych eksperymentach kryją się również frapujące zagadnienia matematyczne.

W niektórych miejscach zwróciliśmy na to szczególną uwagę. W każdym bądź razie wyniki otrzymywane w naszych eksperymentach odwołują się do ogólnie znanej wiedzy  matematycznej. Pod tym względem tworzą one zasobny jej skarbiec, z którego mogą czerpać zarówno dzieci, jak i dorośli. W tym miejscu chcielibyśmy podziękować naszym współpracownikom zajmującym się matematyką, którzy wspólnie z nami testowali, sprawdzali i doskonalili poszczególne eksperymenty. Mamy także nadzieję, że zapoznanie się z zaproponowanymi przez nas eksperymentami przyniesie czytelnikom książki wiele satysfakcji. (...)

Kod hrabiego Sandorfa

Ukrywanie i utajnianie informacji nie musi mieć nic wspólnego z podejrzanymi kombinacjami. Niekiedy duże znaczenie posiada możliwość przekazania komuś jakiegoś przesłania, jednak w taki sposób, aby o jego treści nie dowiedziały się osoby trzecie. O to też chodziło w książce Juliusza Verne’a „Mateusz Sandorf”.

Składamy kwadratową kartkę z notesu w taki sposób, aby po jej ponownym rozłożeniu była podzielona na siatkę 4 ×4 małych pól. W tym celu zaginamy ją na połowę, potem jeszcze 3 razy w taki sam sposób. Następnie wycinamy zaznaczone na czarno pola, zgodnie z załączonym rysunkiem. W ten sposób otrzymujemy szablon do kodowania, za pomocą którego możliwe będzie rozszyfrowanie podanego w książce tekstu. Przenieśmy więc ten tekst na drugą kartkę z notatnika, którą też odpowiednio składamy.

Aby znaleźć sens tekstu, kładziemy na nim szablon. Najpierw widzimy tylko litery C O D E. Zapiszmy je! Stanowią one właśnie początek zaszyfrowanego tekstu. Obróćmy teraz szablon o jedną czwartą kąta pełnego w kierunku ruchu wskazówek zegara i ponownie połóżmy go na tekście. Powinniśmy stale czytać wierszami od strony lewej do prawej. Otrzymujemy:
S M A C. Zanotujmy te litery bezpośrednio pod czterema pierwszymi. W podobny sposób postępujemy dalej – szablon obracamy ponownie o jedną czwartą kąta pełnego w kierunku ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy teraz słowo: H E N S. Na takiej zasadzie postępujemy dalej. Czy jesteśmy już w stanie odczytać całe zdanie?

Brzmi ono tak: CODESMACHENS [po polsku kodowanie].

Po rozkodowaniu zdania możemy, wykorzystując tę samą zasadę, przesłać komuś naszą własną wiadomość. Tekst musi składać się z 16 liter. Połóżmy zatem szablon na czystą kartkę notatnika i wpiszmy cztery pierwsze litery: stale zachowując zasadę zapisu w wierszach – w kolejności od strony lewej do prawej. Następnie obracamy szablon o jedną czwartą kąta pełnego (w kierunku ruchu wskazówek zegara), wpisujemy cztery następne litery itd. Z odbiorcą naszych wiadomości musimy jednak wcześniej uzgodnić wygląd szablonu, jego pozycję początkową oraz kierunek obrotu. Możemy jednak stworzyć nasz własny szablon do kodowania. Z wszystkich 16 pól, na jakie podzielona jest kartka, wycinamy dokładnie cztery. Te, które wybraliśmy, muszą być usytuowane w taki sposób, aby żadne z nich nie pojawiało się przy obrocie podwójnie ani też nie zostało zapomniane. W naszym przykładzie wycinamy lewe górne naroże. W związku z tym inne naroża nie mogą być już wykorzystane – są już bowiem wyłączone. Przez wybór każdego pola do wycięcia decydujemy o braku możliwości wykorzystania trzech innych.

W jakim stopniu bezpieczna jest przedstawiona metoda szyfrowania? Pierwsza odpowiedź na to pytanie znajduje się już w liczbie możliwych do wykonania różnych szablonów oraz liczbie wariantów ich ułożenia. Pierwsze pole może być wycięte w dowolnym miejscu. Kolejne pola pozostają zawsze w pewnymstosunku z pierwszym. Dla trzech następnych wycięć istnieją tym samym cztery możliwości określenia ich położenia.

Mamy zatem do dyspozycji ogółem 4 × 4 × 4 = 64 różnych wariantów szablonów. Osoba ingerująca z zewnątrz i próbująca złamać nasz kod będzie musiała poświęcić trochę czasu na samo wykonanie szablonów. Ale to jeszcze nie wszystko. Jeśli nasz przeciwnik poznał już formy szablonów, to nadal jeszcze stoją przed nim cztery możliwości dotyczące wyboru miejsca rozpoczęcia odczytywania. Poza tym można dokonywać obrotu zarówno w kierunku obrotu wskazówek zegara, jak też w przeciwnym. Jeśli osoba trzecia nie wie, która strona szablonu przyjęta jest jako górna, to ponownie podwaja się liczba wariantów, osiągając wartość 16. Jeśli intruz zna wprawdzie metodę kodowania, ale z drugiej strony nie są mu znane ani szablony, ani ustalenia dotyczące sposobu ich zastosowania, to musi on w najgorszym przypadku sprawdzić 64 × 16 = 1024 możliwości. Jeśli natomiast znany mu jest przynajmniej szablon, wtedy taka liczba redukuje się do 16. W tej sytuacji będzie zapewne w stanie szybko rozszyfrować kod.

Chcielibyśmy zapewne zakodować zdania z większą liczbą liter niż 16. Oryginalny szablon podany w książce Juliusza Verne’a miał siatkę złożoną z 6 × 6 pól. Ile liter musi mieć nasze zdanie przy takim wariancie? Jaki jest wtedy stopień bezpieczeństwa 15 ? 15

Literatura uzupełniająca: Juliusz Verne, Mateusz Sandorf.

Pitagoras bez cyrkla czyli jak przejść przez pocztówkę
Marcus Wagner Albrecht Beutelspacher
ISBN: 978-83-211-1877-2
Wydanie (rok): I 2010 r.
Rodzaj oprawy: oprawa miękka
Kategoria: Wychowanie - edukacja
Liczba stron, format: 192, 120 x 190 mm
Przełożył Krzysztof Gębura
Wydawcnitwo: Instytut Wydawniczy PAX
http://www.iwpax.com.pl/produkt-pitagoras-bez-cyrkla-czyli-jak-przejsc-przez-pocztowke-397.html